প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় ভাল করার কৌশলঃগণিত( অনুপাত - সমানুপাত)

বিসিএস, ব্যাংক সহ অন্যান্য প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষায় অনুপাত – সমানুপাত এই অধ্যায় থেকে অংক এসেই থাকে। তাই আজকে এ অধ্যায়ের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিষয় নিয়ে আলোচনা করব। কেননা, এ বিষয়গুলো সম্বন্ধে কনসেপ্ট ক্লিয়ার না থাকলে অংকগুলো বুঝতে সমস্যা হতে পারে। আসুন মূল আলোচনায় যাওয়া যাক।

প্রথমেই জেনে নিই, অনুপাত কি? উত্তরঃ দুটি একজাতীয় রাশির একটি অপরটির তুলনায় কতগুণ বা কত অংশ তা একটি ভগ্নাংশের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়। এ ভগ্নাংশকে রাশি দুটির অনুপাত বলে। যেমনঃ ৬ টি কমলা ও ৫ টি কমলার অনুপাত ৬/৫ আবার এটাকে ৬:৫ এভাবেও লেখা হয়। অথবা, দুটি রাশি a ও b হলে, রাশি দুটির অনুপাত a: b বা a/b আসুন এবার বিভিন্ন প্রকার অনুপাত উদাহরণের সাহায্যে বুঝে নিইঃ অনুপাতে দুটি রাশি থাকলে তাকে সরল অনুপাত বলা হয়। উল্লেখ্য, সরল অনুপাতে প্রথম রাশিকে পূর্ব রাশি এবং দ্বিতীয় রাশিকে উত্তর রাশি বলা হয়। যেমনঃ দুইটি রাশির অনুপাত ৯:১৫, পূর্ব রাশি ৩৬ হলে উত্তর রাশি কত? উত্তরঃ ধরুন, উত্তর রাশি = ক তাহলে, প্রশ্নানুযায়ী, ৯:১৫ = ৩৬:ক => ৯/১৫ = ৩৬/ক => ক = ৩৬×১৫/৯ = ৬০ এই ৬০ হলো উত্তর রাশি।

আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, অনুপাতের অংকে কে বড়, কে ছোট, কার নাম প্রথমে আছে, কার নাম পরে আছে এ বিষয়গুলো লক্ষ্য করে উত্তর সাজাতে হয়। একটা উদাহরণের সাহায্যে এই বিষয়টি ক্লিয়ার হওয়া যাক। যেমনঃ সুমনের বয়স ২৮ এবং তারেকের বয়স ২৪ হলে তারেক এবং সুমনের বয়সের অনুপাত কত? উত্তরঃ লক্ষ্য করুন, এখানে কিন্তু তারেকের বয়স প্রথমে জানতে চেয়েছে, তাই লিখতে হবে, তারেক : সুমন = ২৪:২৮ = ৬:৭ এটিই হবে উত্তর। কিন্তু কেউ যদি ৭:৬ লিখে তাহলে ভুল হবে কারণ, ৬:৭ এবং ৭:৬ এক বিষয় নয়। লঘু অনুপাত: পূর্বরাশি উত্তর রাশি থেকে ছোট হলে, তাকে লঘু অনুপাত বলে। যেমন: ১০:৫ গুরু অনুপাত: পূর্বরাশি উত্তর রাশি থেকে বড় হলে , তাকে গুরু অনুপাত বলে। যেমন: ১৪:৭ একানুপাত: পূর্বরাশি ও উত্তর রাশি পরস্পর সমান হলে, তাকে একানুপাত বলে। যেমন:৮:৮ ব্যস্ত অনুপাত: সরল অনুপাতের উত্তর রাশিকে পূর্ব রাশি এবং পূর্ব রাশিকে উত্তর রাশি ধরে প্রাপ্ত অনুপাতকে সরল অনুপাতের ব্যস্ত অনুপাত বলা হয়। যেমন: ৮:১৬ এর ব্যস্ত অনুপাত ১৬:৮

আসুন এবার সমানুপাত কি সেটি জানিঃ যে কোনো চারটি রাশির প্রথম দুটির অনুপাত যদি শেষ দুটির অনুপাতের সমান হয়, তবে উক্ত চারটি রাশি নিয়ে একটি সমানুপাত গঠিত হয়। যেমন: ক,খ,গ ও ঘ চারটি রাশি হলে, এদের দ্বারা গঠিত সমানুপাত হবে কঃখ = গঃঘ এবার আমরা বিভিন্ন চাকরীর পরীক্ষায় আসা প্রশ্নগুলো সমাধানের মাধ্যমে অনুপাত - সমানুপাত সম্পর্কিত অংকগুলো কিভাবে সমাধান করতে হয় তা দেখবো।

1.In a school, the ratio of boys to girls is 3 to 7. If there are 150 boys and girls in the school, how many boys are there? Solution: প্রশ্নে দেয়া আছে যে, মোট শিক্ষার্থী ১৫০ জন। যেটা কিনা স্কুলের বালক + বালিকা = ৩+৭ = ১০ অংশের সমান। প্রশ্নে যেহেতু, বালকের সংখ্যা জানতে চেয়েছে তাই আমরা বলতে পারি যে, বালকের সংখ্যা = ৩/১০ × ১৫০ = ৪৫ জন।

2.৬,১২ এবং ৮ এর চতুর্থ সমানুপাতিক কত? সমাধানঃ মনেকরি, চতুর্থ সমানুপাতিক = ক সুতরাং, ৬:১২ = ৮:ক , ১:২ = ৮:ক = ৮:১৬ অতএব, চতুর্থ সমানুপাতিক ক = ১৬

3.দুটি সংখ্যার অনুপাত ৫:৮। ছোট সংখ্যাটি ৬৫ হলে, বড় সংখ্যাটি কত? সমাধানঃ প্রশ্নে দেয়া আছে, ছোট সংখ্যাটি ৬৫ যা কিনা ৫ এর ১৩ গুণ (৫ × ১৩=৬৫)। তাহলে বড় সংখ্যাটিও ১৩ গুণ হবে অর্থাৎ ৮ × ১৩ = ১০৪, এটিই উত্তর।

4. If Marie has twice as much money as Curie has, who has three times as much money as sunny has, what is the ratio of the amount of money sunny has to the amount of money Marie has? Solution: অনেকেই x, y ধরে অংক করা শুরু করবেন বাট প্রশ্নটা একটু ভালোভাবে পড়ে এভাবে চিন্তা করুন যে, সানির কাছে যা টাকা আছে তার তিনগুণ টাকা আছে কুরির কাছে আবার কুরির কাছে যা টাকা আছে তার দ্বিগুণ টাকা আছে মেরীর কাছে। তাহলে আমরা এভাবে লিখতে পারি যে, Sunny : Curie : Marie = 1:3:6 অতএব, উত্তর হবে, Sunny : Marie = 1:6

5.একটি জারে দুধ ও পানির অনুপাত ৫:১। দুধের পরিমাণ যদি পানি অপেক্ষা ৮ লিটার বেশি হয় তবে পানির পরিমাণ কত? সমাধানঃ প্রশ্নে দুধ এবং পানির যে ৮ লিটারের পার্থক্য দেয়া আছে সেটা আসলে অনুপাত ৫:১ এর মধ্যে যে পার্থক্য তার মান। অর্থাৎ, (৫ - ১) = ৪ = ৮ হলে; ১ = (৮÷৪) = ২ এখন, ১ অংশের মান যদি ২ হয় তাহলে তাহলে দুধের পরিমাণ = (৫ ×২) = ১০ এবং পানির পরিমাণ = (১×২) = ২ এটিই উত্তর।

6. Four students aged 11,9,7 & 4 share a sum of money in the ratio of their ages. If the youngest student receives Tk. 1200, what is the sum of money? Solution: প্রশ্নে চারজন ছাত্রের বয়স দেয়া আছে ১১,৯,৭, এবং ৪ যার মধ্যে সবচেয়ে ছেট এই ৪ বছর বয়সী ছাত্র, যে কিনা ১২০০ টাকা পেয়েছে। এই ১২০০ টাকা হচ্ছে তার বয়সের ৩০০ গুণ তাহলে অন্যান্য ছাএরাও তাদের বয়সের ৩০০ গুণ টাকা পাবে, অর্থাৎ, ১ম জন পাবে = ১১×৩০০ = ৩৩০০ ২য়,জন পাবে = ৯×৩০০ = ২৭০০ ৩য়,জন পাবে = ৭×৩০০ = ২১০০ ৪র্থ বা ছোটজন পেয়েছে = ৪×৩০০= ১২০০ অতএব, মোট টাকার পরিমাণ = (৩৩০০+২৭০০+২১০০+১২০০)= ৯৩০০৳

7. A tk. 30000 prize is divided among three employees in the ratio of 2:3:5. What is the value of the smallest share? Solution: অনুপাতগুলোর যোগফল = ২+৩+৫= ১০ এই ১০ অংশ = ৩০০০০ তাহলে, সবচেয়ে ছোট অংশ, অর্থাৎ, ২ অংশ = ২×৩০০০০/১০ = ৬০০০৳

8. A student scored 80 marks in his first test. After taking the third test, his average dropped from 82 to 78. What is the average of 2nd, and 3rd test? Solution: তিনটি পরীক্ষায় প্রাপ্ত মোট নম্বর = ৭৮×৩= ২৮৪ দ্বিতীয় ও তৃতীয় পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর = ২৩৪-৮০=১৫৪ দ্বিতীয় ও তৃতীয় পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বরের গড় = ১৫৪÷২= ৭৭

9. ৬০ মিটারবিশিষ্ট একটি বাঁশকে ৩ঃ৭ঃ১০ অনুপাতে ভাগ করলে টুকরাগুলোর সাইজ কত? সমাধানঃ অনুপাতগুলোর যোগফল = ৩+৭+১০= ২০ ১ম টুকরোর সাইজ = ৩/২০×৬০ = ৯ ২য় টুকরোর সাইজ = ৭/২০×৬০ = ২১ ৩য় টুকরোর সাইজ = ১০/২০×৬০ = ৩০

10. ১০০০ টাকা ক ও খ ১:৪ অনুপাতে ভাগ করে নেয়। খ-এর অংশ সে এবং তার মা ও মেয়ের মধ্যে ২:১:১ অনুপাতে ভাগ করে। মেয়ে কত টাকা পাবে? সমাধানঃ ক ও খ এর অনুপাতদ্বয়ের যোগফল = ১+৪=৫ এই ৫ অংশ = ১০০০; তাহলে, খ এর ৪ অংশ = ৪×২০০= ৮০০ ক এর ১ অংশ = ১×২০০= ২০০ এখন, খ তার অংশের ৮০০ টাকা সে নিজে এবং মা এবং মেয়ের মাঝে ভাগ করে দেয় ২ঃ১ঃ১ অনুপাতে। আবার, অনুপাতগুলোর যোগফল = ২+১+১ = ৪ খ নিজেই নেয় = ২/৪×৮০০ = ৪০০ খ'র মা পায় = ১/৪×৮০০ = ২০০ খ'র মেয়ে পায় = ১/৪×৮০০ = ২০০